三角函数笔记

三角函数

任意角

所有与角$\alpha$终边相同的角，都可以表示成同角$\alpha$在内，可构成一个集合$S=\{\beta|\beta=\alpha+k\cdot360^{\circ },k\in Z\}$，即任一与角$\alpha$终边相同的角，都可以表示成角$\alpha$与整数个周角的和。

弧度制

把长度等于半径长的弧度所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作弧度。

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。如果半径为$r$的圆的圆心角$\alpha$所对弧的长为$l$。那么，角$\alpha$的弧度数的绝对值是$|\alpha|=\frac{l}{r}$

$180^\circ=\pi rad$

$1^\circ=\frac{\pi}{180}rad \approx 0.01745rad$

$1rad=\ (\frac{180}{\pi})^\circ\approx57.3^\circ$

特殊角度与弧度对应表

基本公式

$r=1$

$\sin\alpha=\frac{MP}{OP}=b=y$，$\cos\alpha=\frac{OM}{OP}=a=x$，$\tan\alpha=\frac{MP}{OM}=\frac{b}{a}=\frac{y}{x}$

$x^2+y^2=1\Rightarrow \sin^2\alpha+ \cos^2\alpha=1$

当$\alpha \neq k\pi+\frac{\pi}{2}$时，有：$\frac{\sin \alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha$

诱导公式

公式一

$\sin(\alpha + k\cdot2\pi)=\sin\alpha$

$\cos(\alpha + k\cdot2\pi)=\cos\alpha$

$\tan(\alpha + k\cdot2\pi)=\tan\alpha$

其中$k\in Z$

公式二

$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$

$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$

$\tan(\pi+\alpha)=-\tan\alpha$

公式三

$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$

$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$

$\tan(-\alpha)=\tan\alpha$

公式四

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$

$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$

$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$

公式五

$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$

公式六

$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha$

函数$y=A\sin(\omega x+\varphi)$及函数$y=A\cos(\omega x+\varphi)$的周期

函数

​ $y=A\sin(\omega x+\varphi),x \in R$

及函数

​ $y=A\cos(\omega x+\varphi),x\in R$

（其中$A$，$\omega$，$\varphi$为常数，且$A\neq 0，\omega>0$）的周期仅与自变量的系数有关。那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？

事实上，令$z=\omega x+\varphi$，那么$x\in R$必须并且只需$z\in R$，且函数$y=A\sin z,z \in R$及函数$y=A\cos z,z \in R$的周期都是$2 \pi$。由于

​ $z+2 \pi=(\omega x+ \varphi)+2 \pi=\omega(x+\frac{2\pi}{\omega})+\varphi$ ，

所以自变量$x$只要并且至少要增加到$x+\frac{2\pi}{\omega}$，函数值才能重复出现，即：$T=\frac{2\pi}{\omega}$是使等式

​ $A\sin{[\omega(x+T)]}+\varphi=A\sin(\omega x+\varphi)$，

​ $A\cos{[\omega(x+T)]}+\varphi=A\cos(\omega x+\varphi)$

成立的最小正数，从而，函数

​ $y = A\sin(\omega x+\varphi),x \in R$

及函数

​ $y = A\cos(\omega x+\varphi),x \in R$

的周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$

三角恒等变换

差角公式

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

倍角公式

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$